7679. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите расстояние между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Расстояние между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равно расстоянию между параллельными плоскостями AB_{1}D_{1}
и BC_{1}D
.
Решение. Поскольку AB_{1}\parallel DC_{1}
и AD_{1}\parallel BC_{1}
, плоскости AB_{1}D_{1}
и BC_{1}D
параллельны. Значит, расстояние между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равно расстоянию между плоскостями AB_{1}D_{1}
и BC_{1}D
(см. примечание к задаче 7889).
Известно, что диагональ CA_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскостям AB_{1}D_{1}
и BC_{1}D
и делится ими на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно трети диагонали CA_{1}
, т. е. \frac{\sqrt{3}}{3}
.