7682. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите расстояние между прямыми BA_{1}
и B_{1}D_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Расстояние между прямыми BA_{1}
и B_{1}D_{1}
равно расстоянию между параллельными плоскостями BA_{1}D
и CB_{1}D_{1}
.
Решение. Поскольку A_{1}B\parallel CD_{1}
и BD\parallel B_{1}D_{1}
, плоскости BA_{1}D
и CB_{1}D_{1}
параллельны. Значит, расстояние между прямыми BA_{1}
и B_{1}D_{1}
равно расстоянию между плоскостями BA_{1}D
и CB_{1}D_{1}
(см. примечание к задаче 7889).
Известно, что диагональ AC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскостям BA_{1}D
и CB_{1}D_{1}
и делится ими на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно трети диагонали AC_{1}
, т. е. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 18, с. 54