7683. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите расстояние между прямыми AB
и CA_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Поскольку AB\parallel A_{1}B_{1}
, прямая AB
параллельна плоскости CDA_{1}B_{1}
, значит, расстояние между прямыми AB
и CA_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой AB
, например, от точки A
, до плоскости CDA_{1}B_{1}
(см. задачу 7889).
Пусть M
— центр квадрата AA_{1}D_{1}D
. Прямая AM
перпендикулярна двум пересекающимся прямым A_{1}D
и CD
плоскости CDA_{1}B_{1}
, значит, прямая AM
перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости CDA_{1}B_{1}
, а значит, и расстояние между прямыми AB
и CA_{1}
равно длине отрезка AM
, т. е. \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 16, с. 60