7740. Найдите геометрическое место внутренних точек трёхгранного угла, равноудалённых от его рёбер.
Ответ. Луч.
Решение. Рассмотрим три плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису плоского угла, перпендикулярно его плоскости. Эти три плоскости пересекаются по одной прямой (см. задачу 7111). Докажем, что часть l
этой прямой, содержащаяся внутри трёхгранного угла, есть искомое ГМТ.
Пусть M
— точка внутри трёхгранного угла SABC
с вершиной S
, лежащая на прямой l
, MA_{1}
и MB_{1}
— её ортогональные проекции на рёбра SA
и SB
соответственно, а M_{1}
— ортогональная проекция на плоскость ASB
. Поскольку точка M_{1}
лежит в плоскости, проходящей через биссектрису угла ASB
перпендикулярно плоскости ASB
, точка M_{1}
лежит на этой биссектрисе (см. задачу 7713).
По теореме о трёх перпендикулярах M_{1}A_{1}\perp SA
и M_{1}B_{1}\perp SB
, поэтому M_{1}A_{1}=M_{1}B_{1}
. Прямоугольные треугольники MM_{1}A_{1}
и MM_{1}B_{1}
равны по двум катетам, поэтому MA_{1}=MB_{1}
, т. е. точка M
равноудалена от рёбер SA
и SB
. Аналогично, эта точка равноудалена от рёбер SA
и SC
. Следовательно, точка M
равноудалена от всех трёх рёбер данного трёхгранного угла.
Обратно, пусть точка M
, расположенная внутри трёхгранного угла SABC
, равноудалена от всех его рёбер. Из равенства соответствующих прямоугольных треугольников получим, что ортогональная проекция M_{1}
этой точки на плоскость грани SAB
, равноудалена от сторон угла ASB
, а значит, лежит на его биссектрисе. Кроме того, поскольку MM_{1}
— перпендикуляр к плоскости ASB
, точка M
лежит в плоскости, проходящей через биссектрису угла ASB
перпендикулярно плоскости ASB
. Аналогично, точка M
лежит в двух других таких плоскостях. Следовательно, точка M
принадлежит прямой пересечения этих трёх плоскостей.
Что и требовалось доказать.