7784. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 6. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 4. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.
Ответ. 4.
Указание. Центр сферы, описанной около треугольной пирамиды, лежит на прямой, проходящей через центр описанной около основания окружности и перпендикулярной плоскости основания, а также на плоскости, перпендикулярной боковому ребру и проходящей через его середину.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида, основание которой — равносторонний треугольник ABC
, а боковое ребро CD
перпендикулярно плоскости основания, O
— центр сферы, описанной около пирамиды ABCD
, R
— радиус сферы.
Поскольку точка O
равноудалена от точек A
, B
и C
, она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника ABC
, проходящей через центр M
описанной окружности треугольника (см. задачу 9056). С другой стороны, точка O
равноудалена от точек C
и D
, поэтому она лежит в плоскости, перпендикулярной ребру CD
и проходящей через его середину P
(см. задачу 8171), а так как плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, то четырёхугольник MOPC
— прямоугольник. Далее находим:
OP=MC=AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3},~CP=\frac{1}{2}CD=2,
R=OC=\sqrt{OP^{2}+CP^{2}}=\sqrt{12+4}=4.