7805. Докажите, что для любого тетраэдра существует не менее пяти и не более восьми сфер, каждая из которых касается всех плоскостей его граней.
Решение. Пусть V
— объём тетраэдра; S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади граней; h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
и h_{4}
соответственно — расстояния от точки O
до плоскостей этих граней. Тогда
V=\frac{1}{3}(\epsilon_{1}S_{1}h_{1}+\epsilon_{2}S_{2}h_{2}+\epsilon_{3}S_{3}h_{3}+\epsilon_{4}S_{4}h_{4}),
где \epsilon_{i}=+1
, если точка O
и тетраэдр лежат по одну сторону от i
-й грани, и \epsilon_{i}=-1
в противном случае. Значит, если r
— радиус сферы, касающейся плоскостей всех граней тетраэдра, то h_{1}=h_{2}=h_{3}=h_{4}
, поэтому
\frac{1}{3}(\epsilon_{1}S_{1}+\epsilon_{2}S_{2}+\epsilon_{3}S_{3}+\epsilon_{4}S_{4})r=V.
Значит,
\epsilon_{1}S_{1}+\epsilon_{2}S_{2}+\epsilon_{3}S_{3}+\epsilon_{4}h_{4}\gt0.
Обратно, если для данного набора \epsilon_{i}=\pm1
величина \epsilon_{1}S_{1}+\epsilon_{2}S_{2}+\epsilon_{3}S_{3}+\epsilon_{4}S_{4}
положительна, то существует соответствующая сфера. Действительно, рассмотрим точку, для которой h_{1}=h_{2}=h_{3}=r
, где
r=\frac{3V}{\epsilon_{1}S_{1}+\epsilon_{2}S_{2}+\epsilon_{3}S_{3}+\epsilon_{4}h_{4}}
(т. е. рассмотрим точку пересечения трёх биссекторных плоскостей). Для этой точки h_{4}
также равна r
.
Для любого тетраэдра существует вписанная сфера (\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=\epsilon_{3}=\epsilon_{4}=1
). Кроме того, так как площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх других граней (см. задачу 7425), то существует четыре вневписанных сферы (ровно одно из чисел \epsilon_{i}
равно -1
).
Если для некоторого набора \epsilon_{i}=\pm1
величина \epsilon_{1}S_{1}+\epsilon_{2}S_{2}+\epsilon_{3}S_{3}+\epsilon_{4}S_{4}
положительна, то для набора с противоположными знаками она отрицательна. Всего наборов 2^{4}=16
, значит, сфер не более восьми. Ровно восемь их будет в случае, когда сумма площадей любых двух граней не равна сумме площадей двух других граней (например, в любой правильной треугольной пирамиде, не являющейся правильным тетраэдром).