7868. Сфера касается рёбер AS
, BS
, BC
и AC
треугольной пирамиды SABC
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Найдите отрезок KL
, если MN=7
, NK=5
, LN=2\sqrt{29}
и KL=LM
.
Ответ. 9.
Указание. Точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости (см. задачу 9099).
Решение. Точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости (см. задачу 9099).
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы этой плоскостью. Получим четырёхугольник KLMN
, вписанный в окружность. Обозначим KL=LM=x
, \angle NKL=\alpha
. Тогда \angle NML=180^{\circ}-\alpha
. Далее имеем:
\syst{NL^{2}=KN^{2}+KL^{2}-2KN\cdot KL\cos\alpha\\NL^{2}=MN^{2}+ML^{2}-2MN\cdot ML\cos(180^{\circ}-\alpha)\\}~\Leftrightarrow~\syst{116=25+x^{2}-10x\cdot\cos\alpha\\116=49+x^{2}+14x\cdot\cos\alpha\\}
Вычитая почленно первое уравнение из второго, получим, что x\cos\alpha=-1
. Тогда из первого уравнения находим, что
x^{2}=116-25-10=81.
Следовательно, KL=x=9
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1987, вариант 1, № 6
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 12