9099. Сфера касается рёбер AS
, BS
, BC
и AC
треугольной пирамиды SABC
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости.
Решение. Обозначим
AK=AN=a,~BL=BM=b,~CM=CN=c,~SK=SL=d.
Если c=d
, то прямые KN
и LM
параллельны прямой SC
, поэтому KN\parallel LM
. Значит, точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости.
Пусть c\lt d
. Тогда на отрезке KS
есть точка K_{1}
, для которой KK_{1}=c
, а на отрезке SL
— точка L_{1}
, для которой LL_{1}=c
. При этом AK_{1}=AC
и BL_{1}=BC
, поэтому NK\parallel CK_{1}
и ML\parallel CL_{1}
. Значит, прямые KN
и LM
пересекают прямую SC
соответственно в точках P
и Q
, расположенных на продолжении ребра SC
за точку C
. Тогда
\frac{CP}{SC}=\frac{KK_{1}}{SK_{1}}=\frac{c}{d-c},~\frac{CQ}{SC}=\frac{LL_{1}}{SL_{1}}=\frac{c}{d-c},
CP=SC\cdot\frac{c}{d-c}=CQ,
т. е. точки P
и Q
совпадают. Поэтому KN
и LM
— пересекающиеся прямые. Аналогично для случая, когда c\gt d
. Следовательно, точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости.
Примечание. То, что точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости, следует также из примечания 2 к задаче 9106.