7874. Четырёхугольная пирамида SABCD
вписана в сферу. Основание этой пирамиды — прямоугольник ABCD
. Известно, что AS=7
, BS=2
, CS=6
, \angle SAD=\angle SBD=\angle SCD
. Найдите ребро DS
.
Ответ. 9.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольник, S
— произвольная точка вне плоскости ABCD
. Докажем, что
SA^{2}+SC^{2}=SB^{2}+SD^{2}.
Обозначим через O
точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD
. Тогда SO
— медиана треугольников ASC
и BSD
, поэтому
SO^{2}=\frac{1}{4}(2SA^{2}+2SC^{2}-AC^{2}),~SO^{2}=\frac{1}{4}(2SB^{2}+2SD^{2}-BD^{2}),
(см. задачу 4014), а так как AC=BD
(как диагонали прямоугольника), то из полученных равенств следует, что SA^{2}+SC^{2}=SB^{2}+SD^{2}
.
Если AS=7
, BS=2
и CS=6
, то
DS^{2}=AS^{2}+CS^{2}-BS^{2}=49+36-4=81.
Следовательно, DS=9
.
Примечание. Условие \angle SAD=\angle SBD=\angle SCD
— лишнее.