7874. Четырёхугольная пирамида
SABCD
вписана в сферу. Основание этой пирамиды — прямоугольник
ABCD
. Известно, что
AS=7
,
BS=2
,
CS=6
,
\angle SAD=\angle SBD=\angle SCD
. Найдите ребро
DS
.
Ответ. 9.
Решение. Пусть
ABCD
— прямоугольник,
S
— произвольная точка вне плоскости
ABCD
. Докажем, что
SA^{2}+SC^{2}=SB^{2}+SD^{2}.

Обозначим через
O
точку пересечения диагоналей прямоугольника
ABCD
. Тогда
SO
— медиана треугольников
ASC
и
BSD
, поэтому
SO^{2}=\frac{1}{4}(2SA^{2}+2SC^{2}-AC^{2}),~SO^{2}=\frac{1}{4}(2SB^{2}+2SD^{2}-BD^{2}),

(см. задачу 4014), а так как
AC=BD
(как диагонали прямоугольника), то из полученных равенств следует, что
SA^{2}+SC^{2}=SB^{2}+SD^{2}
.
Если
AS=7
,
BS=2
и
CS=6
, то
DS^{2}=AS^{2}+CS^{2}-BS^{2}=49+36-4=81.

Следовательно,
DS=9
.
Примечание. Условие
\angle SAD=\angle SBD=\angle SCD
— лишнее.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1996 (предварительный экзамен, март), вариант 1, № 6