7914. Расстояние между любыми двумя боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равно a
. Боковое ребро равно l
и наклонено к плоскости основания под углом 60^{\circ}
. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Ответ. a(3l+a)
.
Решение. Площадь S_{1}
боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро (см. задачу 9107). Плоскость перпендикулярного сечения пересекает боковые грани по их высотам. Поэтому периметр перпендикулярного сечения равен сумме этих высот, т. е. 3a
. Значит, S_{1}=3al
.
Пусть S
— площадь основания призмы. Площадь ортогональной проекции основания призмы на плоскость, перпендикулярную боковым рёбрам, равна площади перпендикулярного сечения, делённой на косинус угла между плоскостями основания и перпендикулярного сечения. Этот угол равен углу между боковым ребром и высотой призмы, т. е. 30^{\circ}
. Поэтому
S=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\cos30^{\circ}}=\frac{a^{2}}{2}.
Следовательно, площадь полной поверхности призмы равна
S_{1}+2S_{2}=3al+a^{2}=a(3l+a).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.154