7916. Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10\frac{1}{2}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 200.
Решение. Пусть PABCD
— данная пирамида с вершиной P
, PO
— высота пирамиды. Поскольку AP=CP
, точка O
равноудалена от точек A
и C
. Значит, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Аналогично, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD
, а так как серединные перпендикуляры к диагоналям параллелограмма пересекаются в его центре, то O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
.
Пусть AB=10
, AD=9
, BD=11
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
BD^{2}+AC^{2}=2\cdot AB^{2}+2\cdot AD^{2},
откуда находим, что
AC^{2}=2\cdot AB^{2}+2\cdot AD^{2}-BD^{2}=200+162-121=241.
Поэтому AC=\sqrt{241}
, AO=CO=\frac{\sqrt{241}}{2}
. Так как \sqrt{241}\gt11
, то AC
— большая диагональ параллелограмма ABCD
, значит, AP
и CP
— большие боковые рёбра пирамиды PABCD
. Поэтому AP=CP=\frac{21}{2}
.
Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что
PO=\sqrt{AP^{2}-AO^{2}}=\sqrt{\left(\frac{21}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{241}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441-241}{4}}=5\sqrt{2}.
По формуле Герона находим, что
S_{\triangle ABD}=\sqrt{15\cdot6\cdot5\cdot4}=30\sqrt{2}.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PO=\frac{1}{3}\cdot2\cdot30\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}=200.