7970. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, сторона которого равна 60. Плоскость диагонального сечения, проходящая через большую диагональ основания, перпендикулярна плоскости основания. Площадь этого сечения равна 7200. Найдите меньшую диагональ основания, если боковое ребро равно 80 и образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
.
Ответ. 60.
Решение. Пусть плоскость диагонального сечения AA_{1}C_{1}C
, проходящая через большую диагональ AC
основания ABCD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, перпендикулярна основанию ABCD
. Тогда перпендикуляр C_{1}K
, опущенный из вершины C_{1}
на плоскость основания ABCD
, является высотой параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Значит, C_{1}CK
— угол бокового ребра CC_{1}
с плоскостью основания ABCD
. По условию задачи \angle C_{1}CK=60^{\circ}
. Кроме того,
S_{A_{1}C_{1}C}=CC_{1}\cdot AC\sin\angle C_{1}CK=80AC\cdot\sin60^{\circ}=40AC\cdot\sqrt{3}=7200,
откуда находим, что AC=60\sqrt{3}
.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. задачу 4011), поэтому
BD^{2}+AC^{2}=4\cdot AB^{2},
откуда находим, что
BD^{2}=4\cdot AB^{2}-AC^{2}=4\cdot60^{2}-3\cdot60^{2}=60^{2}.
Следовательно, BD=60
.
Источник: Вступительный экзамен в МЭСИ. —