7981. Тангенсы двугранных углов при основании правильной треугольной пирамиды равны 3. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны основания с серединой противоположного ребра, если сторона основания пирамиды равна \sqrt{3}
.
Ответ. \frac{5}{4}
.
Решение. Пусть a
— сторона основания правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
, K
— середина AB
, M
— середина бокового ребра CD
, O
— центр основания ABC
, \beta
— угол боковой грани с плоскостью основания. Поскольку пирамида правильная, \angle DKO=\beta
. По условию задачи a=\sqrt{3}
, \tg\beta=3
.
Треугольник ABC
— равносторонний, поэтому
CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2},~OK=\frac{1}{3}CK=\frac{1}{2},~OC=\frac{2}{3}CK=1.
Из прямоугольных треугольников DOK
и DOC
находим, что
DO=OK\tg\beta=\frac{3}{2},~DK=\sqrt{DO^{2}+OK^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2},
CD=\sqrt{DO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+1}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
По формуле для медианы (см. задачу 4014) из треугольника DKC
находим, что
KM=\frac{1}{2}\sqrt{2DK^{2}+2CK^{2}-CD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot\frac{10}{4}+2\cdot\frac{9}{4}-\frac{13}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{4}.