7996. Свойства и признаки ортоцентрического тетраэдра. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (ортоцентрический тетраэдр) тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противолежащих рёбер (бимедианы тетраэдра), равны.
Решение. Необходимость. Пусть тетраэдр ABCD
— ортоцентрический. Тогда все рёбра его описанного параллелепипеда равны (см. задачу 7994). Значит, равны и отрезки, соединяющие центры противоположных граней, т. е. бимедианы тетраэдра ABCD
.
Достаточность. Пусть отрезки, соединяющие середины противолежащих рёбер тетраэдра ABCD
, равны. Тогда равны и все рёбра его описанного параллелепипеда. Следовательно, тетраэдр ортоцентрический (см. задачу 7994).