7997. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре выполняется соотношение OH^{2}=4R^{2}-3l^{2}
, где H
— ортоцентр тетраэдра, R
— радиус описанной сферы, l
— расстояние между серединами противоположных рёбер.
Решение. Известно, что противоположные рёбра ортоцентрического тетраэдра попарно перпендикулярны (см. задачу 7807), а точка G
пересечения медиан такого тетраэдра — середина отрезка OH
(см. задачу 7995).
Рассмотрим описанный параллелепипед AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
) ортоцентрического тетраэдра ABCD
. Все рёбра этого параллелепипеда и отрезки, соединяющие центры его противоположных граней, равны l
.
Пусть P
и Q
— середины противоположных рёбер AB
и CD
тетраэдра ABCD
, т. е. центры противоположных граней AKBL
и CMDN
параллелепипеда AKBLNDMC
. Поскольку G
— центр параллелепипеда, отрезок PQ
делится точкой G
пополам. Значит, четырёхугольник HPOQ
— параллелограмм, причём PQ=l
. Точки P
и Q
— середины хорд AB
и CD
сферы с центром O
, поэтому OP\perp AB
и OQ\perp CD
. Из прямоугольных треугольников OPB
и OQC
находим, что
OP^{2}=OB^{2}-BP^{2}=R^{2}-\frac{AB^{2}}{4},~OQ^{2}=OC^{2}-CQ^{2}=R^{2}-\frac{CD^{2}}{4}.
Применяя к параллелограммам HPOQ
и AKBL
теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011), получим, что
OH^{2}=2PO^{2}+2OQ^{2}-PQ^{2}=2\left(R^{2}-\frac{AB^{2}}{4}\right)+\left(R^{2}-\frac{CD^{2}}{4}\right)-l^{2}=
=4R^{2}-\frac{AB^{2}+CD^{2}}{2}-l^{2}=4R^{2}-\frac{AB^{2}+KL^{2}}{2}-l^{2}=
=4R^{2}-\frac{4l^{2}}{2}-l^{2}=4R^{2}-3l^{2}.