8047. Плоскость, проходящая через ребро
AD
и середину
E
ребра
BC
тетраэдра
ABCD
, образует углы
\alpha
и
\beta
с гранями
ACD
и
ABD
этого тетраэдра. Найдите объём тетраэдра, если известно, что
AD=a
, а площадь треугольника
ADE
равна
S
.
Ответ.
\frac{8S^{2}\sin\alpha\sin\beta}{3a\sin(\alpha+\beta)}
.
Указание. Достройте тетраэдр
ABCD
до треугольной призмы
ABCDB_{1}C_{1}
(AD\parallel BB_{1}\parallel CC_{1})
. Объём призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310).
Решение. Достроим тетраэдр
ABCD
до треугольной призмы
ABCDB_{1}C_{1}
(рис. 1) (
AD\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}
). Через точку
E
проведём плоскость, перпендикулярную
AD
. Пусть эта плоскость пересекает прямые
AD
,
BB_{1}
и
CC_{1}
в точках
M
,
P
и
Q
соответственно. Тогда
PQM
— перпендикулярное сечение призмы
ABCDB_{1}C_{1}
, точка
E
— середина
PQ
,
\angle EMQ=\alpha
,
\angle EMP=\beta
.
Объём призмы
ABCDB_{1}C_{1}
равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310), а объём пирамиды
ABCD
составляет треть объёма призмы.
В треугольнике
PQM
(рис. 2) известна медиана
ME=\frac{2S_{\triangle AED}}{AD}=\frac{2S}{a}
и углы, которые она образует со сторонами
MQ
и
MP
. На продолжении этой медианы за точку
E
отложим отрезок
EN
, равный
ME
. По теореме синусов из треугольника
MPN
находим, что
PM=\frac{MN\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{4S}{a}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.

Поэтому
S_{\triangle PQM}=S_{\triangle MPN}=\frac{1}{2}PM\cdot MN\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{16S^{2}}{a^{2}}\cdot\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.

Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}V_{ABCDB_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{16S^{2}}{2a^{2}}\cdot\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot a=\frac{8S^{2}\sin\alpha\sin\beta}{3a\sin(\alpha+\beta)}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1973, вариант 3, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 269
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 90, с. 14