8052. Стороны
AB
и
AC
равностороннего треугольника расположены соответственно в гранях
P
и
Q
острого двугранного угла, равного
\varphi
. Сторона
AB
образует с ребром двугранного угла острый угол
\alpha
. Найдите угол между плоскостью
ABC
и гранью
Q
.
Ответ.
\arcsin\frac{2\sin\alpha\sin\varphi}{\sqrt{3}}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах.
Решение. Первый способ. Пусть
H
— ортогональная проекция точки
B
на плоскость
Q
, точка
K
— ортогональная проекция точки
H
на прямую
AC
, а
M
— ортогональная проекция точки
H
на прямую пересечения плоскостей
P
и
Q
. По теореме о трёх перпендикулярах
BK\perp AC
и
BM\perp AM
. Поэтому
\angle BMH=\varphi
и
\angle BKH=\beta
, где
\beta
— искомый угол.
Обозначим
AB=AC=BC=a
. Из прямоугольных треугольников
ABM
,
BHM
,
BAK
и
BHK
находим, что
BM=AB\sin\angle BAM=a\sin\alpha,

BH=BM\sin\angle BMH=a\sin\alpha\sin\varphi,

BK=AB\sin\angle BAK=a\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2},

\sin\beta=\sin\angle BKH=\frac{BH}{BK}=\frac{a\sin\alpha\sin\varphi}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\alpha\sin\varphi.

Второй способ. Пусть
H
— ортогональная проекция точки
B
на плоскость
Q
, точка
K
— ортогональная проекция точки
H
на прямую
AC
, а
M
— ортогональная проекция точки
H
на прямую пересечения плоскостей
P
и
Q
. По теореме о трёх перпендикулярах
BK\perp AC
и
BM\perp AM
. Поэтому
\angle BMH=\varphi
и
\angle BKH=\beta
, где
\beta
— искомый угол.
Обозначим
\angle BAH=\gamma
— угол между прямой
AB
и гранью
Q
По теореме о трёх синусах (см. задачу 9755)
\sin\gamma=\sin\alpha\sin\varphi.

С другой стороны, рассмотрим двугранный угол с гранями
Q
и
ABC
. Его линейный угол равен
\beta
, а прямая
AB
, лежащая в грани
ABC
, образует угол
60^{\circ}
с ребром
AC
этого двугранного угла. Тогда по теореме о трёх синусах
\sin\gamma=\sin\beta\cdot\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta.

Из равенства
\sin\alpha\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta

находим, что
\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\alpha\sin\varphi.

Примечание. См. также статью И.Г.Габовича «Теорема о трёх синусах», Квант, 1989, N9, с.71
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1975, вариант 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 75-2-3, с. 177