8152. В прямоугольнике ABCD
даны стороны AB=3
, BC=4
. Точка K
удалена от точек A
, B
и C
на расстояния \sqrt{10}
, 2 и 3 соответственно. Найдите угол между прямыми CK
и BD
.
Ответ. \arcsin\frac{4}{5}
.
Указание. В плоскости ABCD
рассмотрите прямоугольник BCPQ
, симметричный данному прямоугольнику ABCD
относительно прямой BC
.
Решение. В плоскости ABCD
рассмотрим прямоугольник BCPQ
, симметричный данному прямоугольнику ABCD
относительно прямой BC
. Обозначим KQ=x
. Отрезок KB
— медиана треугольника AKQ
. По формуле для медианы (см. задачу 4014)
KB^{2}=\frac{1}{4}(2KA^{2}+2KQ^{2}-AQ^{2}),
или
4=\frac{1}{4}(2\cdot10+2\cdot x^{2}-36),
откуда находим, что x=4
.
В треугольнике KQC
известно, что
CQ=BD=5,~KC=3,~KQ=4.
Значит, треугольник KQC
— прямоугольный,
\angle CKQ=90^{\circ},~\sin\angle KCQ=\frac{KQ}{CQ}=\frac{4}{5}.
Поскольку CQ\parallel BD
, угол между прямыми CK
и BD
равен углу KCQ
, т. е. \arcsin\frac{4}{5}
.