8164. В пирамиде ABCD
медиана, проведённая к стороне AD
треугольника ABD
, равна половине AD
, а медиана, проведённая к стороне CD
треугольника BCD
, равна половине CD
. Докажите, что прямая BD
перпендикулярна плоскости ABC
.
Указание. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер соответственно AD
и CD
пирамиды ABCD
. В треугольнике ABD
угол при вершине B
прямой, так как медиана этого треугольника, проведённая из вершины этого угла, равна половине стороны AD
(см. задачу 1188). Аналогично, угол при вершине B
треугольника BCD
также прямой. Значит, прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и BC
плоскости ABC
. Следовательно, прямая BD
перпендикулярна этой плоскости.