8166. Пусть A
, B
, C
и D
— четыре точки в пространстве, для которых AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}
. Докажите, что прямые AC
и BD
перпендикулярны.
Решение. Проведём высоту BK
треугольника ABC
. Докажем, что DK
— высота треугольника ACD
.
Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABK
и CBK
получим, что
AB^{2}-AK^{2}=BC^{2}-CK^{2},~\mbox{или}~AB^{2}-BC^{2}=AK^{2}-CK^{2}.
Поэтому
AD^{2}-CD^{2}=AB^{2}-BC^{2}=AK^{2}-CK^{2}.
Известно, что геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку с концами в этих точках (см. задачу 2445). Значит, DK
— высота треугольника ADC
.
Если точки A
, B
, C
и D
лежат в одной плоскости, то утверждение задачи теперь очевидно.
Если точки A
, B
, C
и D
не лежат в одной плоскости, то прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BK
и DK
плоскости BKD
. Значит, прямая AC
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой BD
.