8190. В плоскости \alpha
проведены две перпендикулярные прямые. Прямая l
образует с ними углы, равные 45^{\circ}
и 60^{\circ}
. Найдите угол прямой l
с плоскостью \alpha
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая l
образует с прямыми a
и b
плоскости \alpha
углы 60^{\circ}
и 45^{\circ}
соответственно, и пересекает эту плоскость в точке P
. Возьмём на прямой l
такую точку M
, для которой PM=1
. Пусть O
— ортогональная проекция точки M
на плоскость \alpha
, A
и B
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые a_{1}
и b_{1}
, соответственно параллельные прямым a
и b
и проходящие через точку P
. Тогда MPO
— угол прямой l
с плоскостью \alpha
, MPA
— угол между прямыми l
и a_{1}
(а значит, между прямыми l
и a
), MPB
— угол между прямыми l
и b_{1}
(а значит, между прямыми l
и b
).
По условию задачи \angle MPA=60^{\circ}
, \angle MPB=45^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников MPA
и MPB
находим, что
AP=MP\cos\angle MPA=1\cdot\cos60^{\circ}=\frac{1}{2},
BP=MP\cos\angle MPB=1\cdot\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
По теореме о трёх перпендикулярах OA\perp a
и OB\perp b
. Значит, OAPB
— прямоугольник. Поэтому OA=BP=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Из прямоугольного треугольника OAP
находим, что
OP=\sqrt{AP^{2}+OA^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Поэтому
\cos\angle MPO=\frac{OP}{MP}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, \angle MPO=30^{\circ}
.
Второй способ. См. задачу 9920.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 8, с. 34