8258. Дан трёхгранный угол OABC
. Найдите величину двугранного угла при ребре OC
, если \angle AOB=60^{\circ}
, \angle BOC=90^{\circ}
и \angle AOC=45^{\circ}
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть OA=OB=OC=1
. Из точки A
опустим перпендикуляр AM
на OC
и через точку M
проведём прямую, параллельную OB
. Пусть F
— точка пересечения этой прямой с отрезком BC
. Тогда MF\perp OC
, и AMF
— линейный угол двугранного угла при ребре OC
.
Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что OM=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Тогда
MF=CM=OC-OM=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Поскольку
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA},~\overrightarrow{MF}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),
то
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MF}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=
=0-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Значит,
\cos\angle AMF=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MF}}{AM\cdot MF}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \angle AMF=45^{\circ}
.
Второй способ. Пусть искомый угол равен \varphi
. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438) находим, что
\cos\varphi=\frac{\cos60^{\circ}-\cos90^{\circ}\cos45^{\circ}}{\sin90^{\circ}\cos45^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \varphi=45^{\circ}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 269, с. 42