8259. Докажите, что если один из двугранных углов трёхгранного угла прямой, то косинус противолежащего ему плоского угла равен произведению косинусов двух других его плоских углов.
Решение. Первый способ. Пусть OABC
— данный трёхгранный угол с вершиной O
. Положим OA=OB=OC=1
. Обозначим \angle BOC=\alpha
, \angle AOC=\beta
, \angle AOB=\gamma
. Тогда
OM=OA\cos\beta=\cos\beta,~ON=OB\cos\alpha=\cos\alpha.
Пусть двугранный угол при ребре OC
равен 90^{\circ}
Из точек A
и B
опустим перпендикуляры AM
и BN
на OC
. Тогда линейный угол двугранного угла при ребре OC
равен углу между векторами \overrightarrow{AM}
и \overrightarrow{BN}
.
Поскольку
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}=\cos\beta\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA},~\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{ON}=\cos\alpha\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},
то
0=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BN}=(\cos\beta\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})(\cos\alpha\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=
=-\cos\beta\cdot\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+\cos\beta\cos\alpha\cdot\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\cos\alpha\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=
=-\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\beta+\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta=\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta.
Следовательно, \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть двугранный угол при ребре OC
равен \varphi
, \varphi=90^{\circ}
. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
0=\cos\varphi=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
Следовательно, \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta
. Что и требовалось доказать.