8280. Основание пирамиды Хеопса — квадрат, а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Буратино забрался наверх и измерил угол грани при вершине. Получилось 100^{\circ}
. Может ли так быть?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть SABCD
— правильная четырёхугольная пирамиды с основанием ABCD
, O
— центр квадрата ABCD
.
Пусть M
— середина AB
. Тогда SM
— гипотенуза прямоугольного треугольника SOM
с катетом OM
. Значит, OM\lt SM
. Отложим на отрезке MS
отрезок MO_{1}
, равный OM
. Тогда треугольник AO_{1}B
равен прямоугольному треугольнику AOB
, а точка O_{1}
лежит внутри треугольника ASB
. Поэтому (см. задачу 3524)
\angle ASB\lt\angle AO_{1}B=\angle AOB=90^{\circ}.
Следовательно, угол при вершине боковой грани не может быть равен 100^{\circ}
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2001, 10-11 классы