8283. Маленький Петя подпилил все ножки у квадратной табуретки и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табуретка после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему, касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табуретку, однако нашёл только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвёртый кусочек?
Ответ. 7 см, 11 см.
Решение. Пусть A
, B
, C
, D
— концы исходных ножек табуретки, а A'
, B'
, C'
и D'
— подпиленных. Докажем, что
AA'+CC'=BB'+DD'.
Поскольку табуретка стоит, касаясь пола четырьмя ножками, точки A'
, B'
, C'
и D'
лежат в одной плоскости. Табуретка квадратная, значит, плоскости ABB'A'
и CDC'D'
параллельны. Следовательно, A'B'\parallel C'D'
(см. задачу 8009). Аналогично B'C'\parallel A'D'
. Таким образом, четырёхугольник A'B'C'D'
— параллелограмм, и его диагонали пересекаются в общей середине O'
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Заметим, что отрезок OO'
— средняя линия как в трапеции ACC'A'
, так и в трапеции BDD'B'
, а значит
AA'+CC'=2OO'=BB'+DD'.
(Это утверждение можно доказать, заметив, что уравнение плоскости линейно. Также это утверждение можно было получить, воспользовавшись методом координат.)
Теперь переберём возможные длины отпиленной части, расположенной по диагонали от потерянной. При этом получим, что длина отпиленной части удовлетворяет одному из равенств
8+x=9+10,~9+x=8+10,~10+x=8+9,
откуда x=7
, x=9
или x=11
.
Поскольку длины всех кусочков различны, x\ne9
, и остаются только варианты x=7
и x=11
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2006, 10-11 классы