8286. Числа x
, y
и z
таковы, что 2x^{2}+y^{2}+z^{2}=3
. Какое наименьшее значение может принимать выражение x-2y+z
?
Ответ. -\frac{\sqrt{66}}{2}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольную систему координат Oxyz
и векторы \overrightarrow{m}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-2;1\right)
и \overrightarrow{n}=(x\sqrt{2};y;x)
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz
и векторы \overrightarrow{m}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-2;1\right)
и \overrightarrow{n}=(x\sqrt{2};y;z)
. Тогда
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot x\sqrt{2}-2\cdot y+1\cdot z=x-2y+z.
С другой стороны, если угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
равен \varphi
, то
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi
(см. задачу 900). Следовательно,
x-2y+z=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi\geqslant-|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=
=-\sqrt{\frac{1}{2}+4+1}\cdot\sqrt{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}=-\sqrt{\frac{11}{2}}\cdot\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{66}}{2},
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=-1
, т. е. когда вектор \overrightarrow{n}
противоположно направлен с фиксированным вектором \overrightarrow{m}
. Тогда \varphi=180^{\circ}
.