8289. Числа x
, y
и z
таковы, что x^{2}+y^{2}+2z^{2}=5
. Какое наименьшее значение может принимать выражение y-2z-x
?
Ответ. -2\sqrt{5}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольную систему координат Oxyz
и векторы \overrightarrow{m}=(-1;1;-\sqrt{2})
и \overrightarrow{n}=(x;y;z\sqrt{2})
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz
и векторы \overrightarrow{m}=(-1;1;-\sqrt{2})
и \overrightarrow{n}=(x;y;z\sqrt{2})
. Тогда
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=-1\cdot x+1\cdot y-\sqrt{2}\cdot z\sqrt{2}=-x+y-2z.
С другой стороны, если угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
равен \varphi
, то
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi
(см. задачу 900). Следовательно,
2x+y-z=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cos\varphi\geqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=
=-\sqrt{1+1+2}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}=-2\cdot\sqrt{5}=-2\sqrt{5},
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=-1
, т. е. когда вектор \overrightarrow{n}
противоположно направлен с фиксированным вектором \overrightarrow{m}
. Тогда \varphi=180^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1989, вариант 4, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 82