8296. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Постройте сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через медиану BM
боковой грани ASB
, а вторая — через медиану CN
боковой грани BSC
. В каком отношении эти плоскости делят отрезок SD
?
Ответ. 1:1:1
.
Указание. Через точку N
проведите прямую, параллельную BM
.
Решение. Известно, что через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей (см. задачу 7105).
Пусть l
— прямая пересечения плоскостей ASB
и CSD
. Эти плоскости проходят через параллельные прямые AB
и CD
, значит, прямая l
параллельна AB
и CD
(см. задачу 8004).
Пусть K
— середина отрезка SM
. Тогда KN
— средняя линия треугольника BMS
, значит, KN\parallel BM
. Продолжим KN
до пересечения с прямой l
в точке E
. Из равенства треугольников SKE
и MKN
следует, что SE=MN=\frac{1}{2}AB
.
Пусть Q
— точка пересечения прямых CE
и SD
. Из подобия треугольников SQE
и DQC
следует, что
\frac{SQ}{QD}=\frac{SE}{CD}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2},~SQ=\frac{1}{3}SD.
Через точку M
проведём прямую MP
, параллельную KQ
(точка P
на ребре SD
). По теореме Фалеса PQ=SQ=\frac{1}{3}SD
. Продолжим BM
до пересечения с прямой l
в точке F
. Тогда SF=AB=CD
. Пусть L
— точка пересечения прямой FP
с ребром CD
. Из подобия треугольников DPL
и SPF
следует, что DL=\frac{1}{2}SF=\frac{1}{2}CD
. Значит, L
— середина ребра CD
.
Плоскости CNKQ
и BMPL
параллельны, так как пересекающиеся прямые NK
и KQ
одной из них соответственно параллельны пересекающимся прямым BM
и MP
другой. При этом прямая CN
лежит в первой плоскости, а прямая BM
— во второй. Значит, искомые сечения — это четырёхугольники CNKQ
и BMPL
, а так как PQ=SQ=\frac{1}{3}SD
, то DP=\frac{1}{3}SD
. Следовательно, SQ=PQ=DP
.