8298. Плоскость \alpha
пересекает рёбра AB
, BC
, CD
и DA
треугольной пирамиды ABCD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Оказалось, что двугранные углы \angle(KLA,KLM)
, \angle(LMB,LMN)
, \angle(MNC,MNK)
и \angle(NKD,NKL)
равны. (Здесь через \angle(PQR,PQS)
обозначается двугранный угол при ребре PQ
в тетраэдре PQRS
.) Докажите, что ортогональные проекции вершин A
, B
, C
и D
на плоскость \alpha
лежат на одной окружности.
Указание. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в основание, либо через центр одной из вневписанных окружностей (см. задачу 7167).
Решение. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в основание, либо через центр одной из вневписанных окружностей (см. задачу 7167).
Пусть A'
, B'
, C'
и D'
— ортогональные проекции вершин соответственно A
, B
, C
и D
на плоскость \alpha
. Будем считать для определённости, что плоскость \alpha
пересекает прямую BD
в точке F
, лежащей на продолжении ребра BD
за точку B
.
Боковые грани треугольной пирамиды BKLF
образуют равные двугранные углы
\angle(KLB,KLF)=\angle(KLA,KLM),~
\angle(FLB,FLK)=\angle(LMB,LMN),~
\angle(KFB,KFL)=\angle(NKD,NKL),
поэтому основание B'
высоты BB'
этой пирамиды расположено внутри треугольника KLF
. Тогда B'
— центр вписанной окружности треугольника KLF
.
Боковые грани треугольной пирамиды DMNF
образуют равные двугранные углы
\angle(NFD,NFM)=\angle(NKD,NKL),~
\angle(MFD,MFN)=\angle(LMB,LMN),~
\angle(MNA,MNF)=\angle(MNC,MNK).
поэтому основание D'
высоты DD'
этой пирамиды расположено вне треугольника MNF
. Поэтому D'
— центр вневписанной окружности треугольника MNF
, касающейся стороны MN
.
Обозначим \angle MFN=\varphi
. Лучи KB'
и LB'
— биссектрисы внутренних углов при вершинах K
и L
треугольника KLF
, поэтому (см. задачу 4770)
\angle A'B'C'=\angle KB'L=90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}.
Лучи MD'
и ND'
— биссектрисы внешних углов при вершинах M
и N
треугольника MNF
, поэтому (см. задачу 4770)
\angle A'D'C'=\angle ND'M=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}.
Значит,
\angle A'B'C'+\angle A'D'C'=90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}+90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник A'B'C'D'
— вписанный. Что и требовалось доказать.
Если KN\parallel ML
, а прямые MN
и KL
пересекаются в точке E
, то аналогично рассмотрим треугольники EKN
и EML
.
Если KN\parallel ML
и MN\parallel KL
, то KLMN
— параллелограмм. Тогда A'B'C'D'
— прямоугольник (биссектрисы внешних углов при соседних вершинах параллелограмма пересекаются под прямым углом). Следовательно, около него можно описать окружность.