8401. Плоскость, проходящая через середины рёбер AB
и CD
треугольной пирамиды ABCD
делит ребро AD
в отношении 3:1
, считая от вершины A
. В каком отношении эта плоскость делит ребро BC
?
Ответ. 3:1
, считая от вершины B
.
Решение. Первый способ. Пусть K
и M
— середины рёбер AB
и CD
, P
и Q
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AD
и BC
соответственно (рис. 1). Пусть KM
— проектирующая прямая. При параллельном проектировании данной пирамиды на плоскость, пересекающую прямую KM
, точки K
и M
перейдут в некоторую точку O
, точки A
, B
, C
, D
, P
и Q
— соответственно в точки A'
, B'
, C'
, D'
, P'
и Q'
, причём четырёхугольник A'C'B'D'
— параллелограмм с центром O
(рис. 2), так как его диагонали пересекаются в точке O
и делятся ею пополам.
Точка P'
делит сторону A'D'
этого параллелограмма в отношении 3:1
, считая от точки A'
, значит, прямая OP'
делит противоположную сторону B'C'
параллелограмма также в отношении 3:1
, считая от точки B'
. Следовательно, точка Q
делит ребро BC
пирамиды ABCD
в отношении 3:1
, считая от точки B
.
Второй способ. Поскольку
\frac{DP}{PA}\cdot\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CM}{MD}=1
(см. задачу 9106), и при этом AK=KB
и CM=MD
, то
\frac{DP}{PA}\cdot\frac{BQ}{QC}=1.
Отсюда находим, что \frac{BQ}{QC}=\frac{PA}{DP}
. Следовательно, \frac{BQ}{QC}=3
.