8412. В правильном тетраэдре
ABCD
с ребром
a
точка
M
— середина
AB
,
N
— середина
BC
. Найдите угол и расстояние между прямыми
CM
и
DN
. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок
DN
и
CM
?
Ответ.
\arccos\frac{1}{6}
;
a\sqrt{\frac{2}{35}}
;
DY:YN=32:3
;
CX:XM=18:17
.
Решение. Первый способ. Пусть
O
— центр равностороннего треугольника
ABC
,
E
и
F
— точки пересечения прямой, проходящей через точку
O
параллельно
AB
, со сторонами
AC
и
BC
соответственно,
N'
— основание перпендикуляра, опущенного из точки
N
на прямую
EF
. Так как
NN'\parallel OC
, то
NN'
— перпендикуляр к плоскости
DEF
. Значит,
N'
— ортогональная проекция точки
N
на плоскость
EDF
, перпендикулярную прямой
CM
(рис. 1). Тогда
\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}=\frac{CO}{MO}=2,~NF=\frac{2}{3}BC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC.

Расстояние между прямыми
CM
и
DN
равно расстоянию от точки
O
до ортогональной проекции
DN
на плоскость
EDF
, т. е. до прямой
DN'
(см. задачу 8406). Так как
NN'\parallel CO
, то по теореме Фалеса
\frac{ON'}{N'F}=\frac{CN}{NF}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{6}BC}=3,

откуда находим, что
ON'=\frac{3}{4}OF=\frac{3}{8}EF=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}AB=\frac{1}{4}a.

Пусть
P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки
O
на прямую
DN'
. Тогда искомое расстояние между прямыми
CM
и
DN
равно длине отрезка
OP
. Из прямоугольного треугольника
DON'
находим, что
OP=\frac{OD\cdot ON'}{DN'}=\frac{a\sqrt{2}{3}\cdot\frac{1}{4}a}{\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}+\frac{1}{16}a^{2}}}=a\sqrt{\frac{2}{35}}.

Угол
\alpha
между прямыми
CM
и
DN
дополняет до
90^{\circ}
угол между пересекающимися прямыми
DN
и
DN'
. Поэтому
\sin\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)=\frac{DN'}{DN}=\frac{\frac{a\sqrt{35}}{\sqrt{48}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{35}}{6}.

Следовательно,
\alpha=\arcsin\frac{\sqrt{35}}{6}=\arccos\frac{1}{6}.

Пусть
XY
— общий перпендикуляр прямых
CM
и
DN
(точка
X
лежит на
CM
,
Y
— на
DN
). Тогда
OXYP
— прямоугольник,
PY\parallel NN'\parallel OX
(рис. 2). Значит,
\frac{DY}{YN}=\frac{DP}{PN'}=\frac{OD^{2}}{ON'^{2}}=\frac{\frac{2}{3}a^{2}}{\frac{1}{16}a^{2}}=\frac{32}{3}.

Кроме того,
OX=PY=\frac{DP}{DN'}\cdot NN'=\frac{DP}{DN'}\cdot\frac{1}{4}OC=\frac{32}{35}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{8a\sqrt{3}}{105},

XM=MO+OX=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{8a\sqrt{3}}{105}=\frac{51a\sqrt{3}}{210}=\frac{17a\sqrt{3}}{70}.

Значит,
\frac{MX}{CM}=\frac{\frac{17a\sqrt{3}}{70}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{17}{35}.

Следовательно,
\frac{CX}{XM}=\frac{18}{17}
.
Второй способ. Обозначим
\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{x}
,
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{y}
,
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{z}
,
DA=x
,
AB=y
,
BC=z
, где
x=y=z=a
. Тогда
\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=a^{2}\cdot\cos120^{\circ}=-\frac{a^{2}}{2},~\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y}=a^{2}\cdot\cos120^{\circ}=-\frac{a^{2}}{2},~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}=0,

\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y},~\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z},

\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{DN}=\left(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\right)\cdot\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=

=-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{z}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=

=0+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{8}a^{2}=-\frac{1}{8}a^{2},

CM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~DN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

Пусть
\alpha
— угол между прямыми
CM
и
DN
. Тогда
\cos\alpha=\frac{|\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{DN}|}{CM\cdot DN}=\frac{\frac{a^{2}}{8}}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{6}.

Пусть
XY
— общий перпендикуляр прямых
CM
и
DN
(точка
X
лежит на
CM
,
Y
— на
DN
), причём
\overrightarrow{CX}=\lambda\overrightarrow{CM}=\lambda(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}),~\overrightarrow{DY}=\mu\overrightarrow{DN}=\mu(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}).

Тогда
\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DY}=(1-\lambda)\overrightarrow{CM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\mu\overrightarrow{DN}=

=(1-\lambda)\left(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}+\mu\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=

=(\mu-1)\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{z}.

Так как
\overrightarrow{XY}\perp\overrightarrow{CM}
и
\overrightarrow{XY}\perp\overrightarrow{DN}
, то
\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{CM}=0
и
\overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{DN}=0
, или
\left((\mu-1)\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\overrightarrow{z}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\right)=

=-(\mu-1)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z})-\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z})-\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{z}^{2}-

-\frac{1}{2}(\mu-1)\cdot(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{y}^{2}-\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y})=

=0+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}-\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}+

+\frac{1}{4}(\mu-1)a^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}+\frac{1}{4}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}=

=\frac{1}{8}a^{2}(2\lambda+4\mu-4-8\lambda-4\mu+8+2\mu-2-2\lambda-4\mu+4+

+2\lambda+\mu-2)=\frac{1}{8}a^{2}(-6\lambda-\mu+4)=0,

\left((\mu-1)\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\overrightarrow{z}\right)\cdot\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=

=(\mu-1)\overrightarrow{x}^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x})+

+(\mu-1)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}^{2}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y})+

+\frac{1}{2}(\mu-1)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z})+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z})+\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\overrightarrow{z}^{2}=

=(\mu-1)a^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}+0-

-\frac{1}{2}(\mu-1)a^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\cdot a^{2}-\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}+

+0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}+\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}=

=\frac{1}{8}a^{2}(8\mu-8-2\lambda-4\mu+4-4\mu+4+4\lambda+8\mu-8-4\lambda-2\mu+4-

-\lambda-2\mu+2+4\lambda+2\mu-4)=\frac{1}{8}a^{2}(\lambda+6\mu-6)=0,

Из системы
\syst{-6\lambda-\mu+4=0\\\lambda+6\mu-6=0\\}

находим, что
\lambda=\frac{18}{35}
,
\mu=\frac{32}{35}
(
CX:XM=18:17
,
DY:YN=32:3
). Поэтому
\overrightarrow{XY}=(\mu-1)\cdot\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{z}=

=\frac{3}{35}\overrightarrow{x}+\frac{6}{35}\overrightarrow{y}+\frac{1}{35}\overrightarrow{z}.

Следовательно,
XY=\sqrt{\overrightarrow{XY}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{35}\overrightarrow{x}+\frac{6}{35}\overrightarrow{y}+\frac{1}{35}\overrightarrow{z})^{2}}=

=\frac{1}{35}\sqrt{9\overrightarrow{x}^{2}+36\overrightarrow{y}^{2}+\overrightarrow{z}^{2}-36\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+6\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}-12\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}}=

=\frac{1}{35}\sqrt{9a^{2}+36a^{2}+a^{2}+18a^{2}+6a^{2}}=\frac{1}{35}\sqrt{70a^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{35}}.

Третий способ (вычисление расстояния). Пусть
V
— объём тетраэдра. Тогда
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12},~V_{DMNC}=\frac{1}{4}V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{48}.

С другой стороны,
V_{DMNC}=\frac{1}{6}CM\cdot DN\cdot d\sin\alpha,

где
\alpha
— угол между прямыми
CM
и
DN
, а
d
— расстояние между ними (см. задачу 7234).
Пусть
T
— середина отрезка
BM
. Тогда
NT\parallel MC
, значит, угол между прямыми
CM
и
DN
равен углу
DNT
. Из треугольника
DNT
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\cos\angle DNT=\frac{1}{6}.

Тогда
\sin\alpha=\frac{\sqrt{35}}{6}
. Следовательно,
d=\frac{6V_{DMNC}}{CM\cdot DN\sin\alpha}=\frac{\frac{a^{3}\sqrt{2}}{8}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{35}}{6}}=a\sqrt{\frac{2}{35}}.

Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 2(б), с. 99
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(д), с. 55