8414. Прямая l
, параллельная диагонали AC_{1}
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, равноудалена от прямых BD
, A_{1}D_{1}
и CB_{1}
. Найдите расстояния от прямой l
до этих прямых.
Ответ. \frac{5(2\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{6}
; \frac{5(3\sqrt{2}+\sqrt{6})}{6}
; \frac{5\sqrt{2}}{6}
; \frac{5\sqrt{2}}{6}
.
Решение. Пусть при ортогональном проектировании данного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(рис. 1) на плоскость, перпендикулярную его диагонали AC_{1}
, прямая l
перейдёт в точку K
, а вершины B
, C
, D
, A_{1}
, B_{1}
, и D_{1}
— в точки B'
, C'
, D'
, A_{1}'
, B_{1}'
и D_{1}'
соответственно. Прямая AC_{1}
образует с прямыми C_{1}C
, C_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
равные углы \beta
, причём
\sin\beta=\frac{AC}{AC_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Значит, все рёбра куба образуют с плоскостью проекций углы 90^{\circ}-\beta
, и B'C'D'D_{1}'A_{1}'B_{1}'
— правильный шестиугольник (рис. 2) со стороной, равной
CC_{1}\cdot\cos(90^{\circ}-\beta)=CC_{1}\sin\beta=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Расстояния от прямой l
до прямых BD
, A_{1}D_{1}
и CB_{1}
соответственно равны расстояниям от точки K
до ортогональных проекций этих прямых на рассматриваемую плоскость, т. е. до прямых B'D'
, A_{1}'D_{1}'
и C'B_{1}'
.
Пусть прямые B'D'
и A_{1}'D_{1}'
пересекаются в точке P
, прямые A_{1}'D_{1}'
и C'B_{1}'
— в точке Q
, прямые B'D'
и C'B_{1}'
— в точке E
. Так как прямая l
равноудалена от прямых BD
, A_{1}D_{1}
и CB_{1}
, то точка K
равноудалена от прямых B'D'
, A_{1}'D_{1}'
и C'B_{1}'
. Значит, K
— либо центр вписанной, либо центр вневписанной окружности равнобедренного треугольника PQE
, в котором \angle PEQ=120^{\circ}
.
Пусть O
— центр правильного шестиугольника B'C'D'D_{1}'A_{1}'B_{1}'
, F
— середина стороны A_{1}'D_{1}'
. Тогда EF
— высота треугольника PQE
, причём
EF=OF+OE=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{6},
QE=PE=2EF=\frac{5\sqrt{2}}{3},~PQ=QE\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{6}}{3}.
Если p
— полупериметр треугольника PQE
, S
— его площадь, r
— радиус вписанной окружности, а r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон PQ
, PE
и QE
соответственно, то
p=PE+PF=\frac{5\sqrt{2}}{3}+\frac{5\sqrt{6}}{6}=\frac{5\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{6},
S=PF\cdot EF=\frac{5\sqrt{6}}{6}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{6}=\frac{25\sqrt{3}}{18},
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{18}}{\frac{5\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{6}}=\frac{5(2\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{6},
r_{1}=\frac{S}{p-PQ}=\frac{\frac{25\sqrt{3}}{18}}{\frac{5(2\sqrt{2}-\sqrt{6})}{6}}=\frac{2\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}
(см. задачу 392),
r_{2}=r_{3}=EF=\frac{5\sqrt{2}}{6}.