8649. В правильной треугольной пирамиде SKLM
с вершиной S
проведена медиана MP
в треугольнике SLM
. Известно, что KL=1
и SK=3
. Через середину N
ребра SM
проведена прямая NE
, параллельная KL
. Через точку K
проведена прямая, пересекающая прямые MP
и NE
в точках A
и B
соответственно. Найдите AB
.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{6}
.
Решение. Прямая NE
проходит через точку N
и параллельна прямой KL
. Значит, эта прямая лежит в плоскости KLN
. Точка K
и точка пересечения прямых MP
и LN
принадлежат одновременно плоскостям KNL
и KPM
. Значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через эти две точки. Эта прямая пересекает прямую NE
, лежащую в плоскости KNL
, и прямую MP
, а так как через данную точку можно провести не более одной прямой, пересекающей две данные скрещивающиеся прямые, не проходящие через эту точку, то прямая, о которой говорится в условии задачи, и есть прямая l
. Тогда A
— точка пересечения этой прямой с PM
, а B
— с прямой NE
.
Из равнобедренного треугольника KSL
по формуле для медианы (см. задачу 4014) находим, что
KP=\frac{1}{2}\sqrt{2SK^{2}+2KL^{2}-SL^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot9+2\cdot1-9}=\frac{\sqrt{11}}{2}.
Аналогично, LN=\frac{\sqrt{11}}{2}
.
Из равнобедренного треугольника KNL
находим, что
\cos\angle KLN=\frac{\frac{1}{2}KL}{LN}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{11}}.
Поскольку A
— точка пересечения медиан треугольника LSM
,
AL=\frac{2}{3}LN=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}=\frac{\sqrt{11}}{3}.
По теореме косинусов из треугольника AKL
находим, что
AK=\sqrt{KL^{2}+AL^{2}-2KL\cdot AL\cos\angle KLN}=
=\sqrt{1+\frac{11}{9}-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{11}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{11}}}=\frac{\sqrt{14}}{3}.
Наконец, из подобия треугольников BAN
и KAL
находим, что
AB=\frac{AK}{AL}\cdot AL=\frac{1}{2}AK=\frac{\sqrt{14}}{6}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2004 (июль), № 8, вариант 1