8673. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— основания, AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
) отрезки M_{1}N_{1}
, M_{2}N_{2}
, M_{3}N_{3}
— общие перпендикуляры к парам отрезков A_{1}C_{1}
и AB_{1}
, BC_{1}
и AC
, DC_{1}
и AD_{1}
соответственно. Объём параллелепипеда равен V
, радиус описанной сферы равен R
, а сумма длин рёбер AA_{1}
, AB
и AD
равна m
. Найдите сумму объёмов пирамид AA_{1}M_{1}N_{1}
, ABM_{2}N_{2}
и ADM_{3}N_{3}
.
Ответ. \frac{1}{6}V-\frac{2}{3}V^{3}R^{2}\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{-2}
.
Решение. Обозначим \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}
\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{c}
, AD=a
, AB=b
, AA_{1}=c
. Из условия задачи следует, что
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=0,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=a^{2},~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=b^{2},~\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{c}=c^{2},
\syst{a+b+c=m\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}\\abc=V,}
Пусть точка M_{1}
лежит на прямой AB_{1}
, а точка N_{1}
— на прямой A_{1}C_{1}
. Обозначим \frac{AM_{1}}{AB_{1}}=\alpha
, \frac{A_{1}N_{1}}{A_{1}C_{1}}=\beta
. Тогда
\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b},~\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=\overrightarrow{A_{1}B_{1}}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a},
\overrightarrow{M_{1}N_{1}}=\overrightarrow{M_{1}A}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}N_{1}}=-\alpha\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{AA_{1}}+\beta\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=
=-\alpha(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}+\beta(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})=\beta\overrightarrow{a}+(\beta-\alpha)\overrightarrow{b}+(1-\alpha)\overrightarrow{c},
а так как M_{1}N_{1}\perp AB_{1}
и M_{1}N_{1}\perp A_{1}C_{1}
, то \overrightarrow{M_{1}N_{1}}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=0
и \overrightarrow{M_{1}N_{1}}\cdot\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=0
, или
\syst{(\beta\overrightarrow{a}+(\beta-\alpha)\overrightarrow{b}+(1-\alpha)\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})=0\\(\beta\overrightarrow{a}+(\beta-\alpha)\overrightarrow{b}+(1-\alpha)\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})=0.\\}
Учитывая, что
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=a^{2},~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}=b^{2},~\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{c}=c^{2},
после очевидных упрощений получим систему
\syst{(\beta-\alpha)b^{2}+(1-\alpha)c^{2}=0\\\beta a^{2}+(\beta-\alpha)b^{2}=0,\\}
из которой находим, что
\syst{\alpha=\frac{c^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}\\\beta=\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}.\\}
Объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин двух его противоположных рёбер на расстояние между ними и на синус угла \varphi
между ними (см. задачу 7234), поэтому
V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}=\frac{1}{6}AB_{1}\cdot A_{1}C_{1}\cdot M_{1}N_{1}\sin\varphi,
V_{AA_{1}M_{1}N_{1}}=\frac{1}{6}AM_{1}\cdot A_{1}N_{1}\cdot M_{1}N_{1}\sin\varphi=\frac{1}{6}\alpha AB_{1}\cdot\beta A_{1}C_{1}\cdot M_{1}N_{1}\sin\varphi=
=\alpha\beta V_{AA_{1}B_{1}D_{1}}=\frac{1}{6}\alpha\beta V=\frac{1}{6}\cdot\frac{c^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}\cdot\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}\cdot abc=
=\frac{abc}{6}\cdot\frac{b^{2}c^{4}(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}}.
Аналогично,
V_{ABM_{2}N_{2}}=\frac{abc}{6}\cdot\frac{a^{2}b^{4}(a^{2}+c^{2})}{(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}}.
V_{ADM_{3}N_{3}}=\frac{abc}{6}\cdot\frac{c^{2}a^{4}(b^{2}+c^{2})}{(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}}.
Значит,
V_{AA_{1}M_{1}N_{1}}+V_{ABM_{2}N_{2}}+V_{ADM_{3}N_{3}}=\frac{abc}{6}\cdot\frac{b^{2}c^{4}(a^{2}+b^{2})+a^{2}b^{4}(a^{2}+c^{2})+c^{2}a^{4}(b^{2}+c^{2})}{(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}}=
=\frac{abc}{6}\cdot\frac{a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4}+a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}}.
Из системы
\syst{a+b+c=m\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}\\abc=V,}
получим, что
ab+ac+bc=\frac{1}{2}\left((a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\right)=\frac{m^{2}-4R^{2}}{2},
a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}=(ab+ac+bc)^{2}-2(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab)=
=(ab+ac+bc)^{2}-2abc(a+b+c)=\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm,
a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4}=(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})^{2}-2(a^{4}b^{2}c^{2}+b^{4}a^{2}c^{2}+c^{4}b^{2}c^{2})=
=(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=
=\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{2}-2V^{2}\cdot4R^{2}=\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{2}-8V^{2}R^{2}.
Следовательно,
V_{AA_{1}M_{1}N_{1}}+V_{ABM_{2}N_{2}}+V_{ADM_{3}N_{3}}=\frac{abc}{6}\cdot\frac{a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+a^{4}c^{4}+a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}}=
=\frac{V}{6}\cdot\frac{\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{2}-8V^{2}R^{2}+4V^{2}R^{2}}{\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{2}}=
=\frac{V}{6}\cdot\frac{\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{2}-4V^{2}R^{2}}{\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{2}}=\frac{1}{6}V-\frac{2}{3}V^{3}R^{2}\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{-2}.