8681. Свойства и признаки равногранного тетраэдра. Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:
1) все грани равновелики;
2) каждое ребро равно противоположному;
3) все грани равны;
4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;
5) суммы углов при каждой вершине равны;
6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^{\circ}
;
7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;
8) все грани — остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;
9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, — прямоугольник;
10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, — прямоугольный;
11) высоты тетраэдра равны;
12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;
13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;
14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^{\circ}
;
15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^{\circ}
, и два противоположных ребра равны.
Решение. (5)~\Rightarrow~(6)
. Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т. е. 720^{\circ}
, поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180^{\circ}
. Обратное: (6)~\Rightarrow~(5)
— очевидно.
(4)~\Rightarrow~(8)
. Если R
— радиус описанной около тетраэдра сферы, r
— радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис. 1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние \sqrt{R^{2}-r^{2}}
, т. е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса \sqrt{R^{2}-r^{2}}
.
(8)~\Rightarrow~(4)
. В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O
описанной сферы на грани (рис. 1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R_{1}
, то точка O
одинаково удалена от всех граней (на расстояние \sqrt{R^{2}-R_{1}^{2}}
), а так как все грани — остроугольные треугольники, то O
— центр вписанной сферы.
(8)~\Rightarrow~(6)
. Если радиусы описанных окружностей граней ABC
и DBC
тетраэдра ABCD
равны, то \angle BAC=\angle BDC
, поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC
в равных окружностях (рис. 2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,
\angle BDC+\angle CDA+\angle ADB=\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB=180^{\circ}.
Аналогично для всех других вершин.
(6)~\Rightarrow~(7)
. Развёртка произвольного тетраэдра ABCD
— шестиугольник D_{1}AD_{2}BD_{3}C
, разбитый на три треугольника (рис. 3). Из (6) следует, что отрезки D_{1}A
и AD_{2}
, D_{2}B
и BD_{3}
, D_{3}C
и CD_{1}
лежат на одной прямой, т. е. точки A
, B
и C
— середины сторон треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
(рис.). Этот треугольник остроугольный, так как в трёхгранном угле при вершине D
тетраэдра каждый из плоских углов меньше суммы двух других.
(7)~\Rightarrow~(8)
, (7)~\Rightarrow~(2)
, (2)~\Rightarrow~(3)
, (3)~\Rightarrow~(1)
— очевидно.
(1)~\Rightarrow~(9)
. Заметим, что если p_{1}
и p_{2}
— параллельные плоскости, AK
и BH
— два отрезка, концы A
и B
которых лежат в плоскости p_{1}
, а концы K
и H
— в плоскости p_{2}
, то отрезки AK
и BH
равны тогда и только тогда, когда равны их проекции на плоскость p_{1}
(или p_{2}
). Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора (рис. 4).
Проведём параллельные плоскости если p_{1}
и p_{2}
через рёбра AB
и CD
тетраэдра. Пусть C_{1}
и D_{1}
— проекции точек C
и D
на плоскость p_{1}
(рис. 5), O
— точка пересечения C_{1}D_{1}
и AB
. Если площади треугольников CAD
и CBD
равны, то равны и высоты AK
и BH
этих треугольников, следовательно, равны проекции этих высот на плоскость p_{1}
: AK_{1}=BH_{1}
, и поэтому AO=OB
(рис.). Отсюда следует, в частности, что точки A
и B
лежат по разные стороны от прямой C_{1}D_{1}
. Точно так же, поскольку площади треугольников ACB
и ADB
равны, C_{1}O=D_{1}O
. Следовательно, AC_{1}BD_{1}
— параллелограмм, т. е. AC_{1}=BD_{1}=C_{1}D_{1}
и C_{1}B=D_{1}A
, откуда AC=BD
и BC=AD
. Точно так же доказывается, что AB=CD
, поэтому AC_{1}BD_{1}
— прямоугольник.
(9)~\Rightarrow~(7)
— очевидно.
(14)~\Rightarrow~(3)
. Пусть в треугольной пирамиде ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
равны по 180^{\circ}
.
Рассмотрим развёртку D_{1}AD_{2}BD_{3}C
пирамиды ABCD
на плоскость треугольника ABC
(рис. 3), причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями AC
, AB
и BC
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
и C
тетраэдра ABCD
равны по 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, точка B
— на отрезке D_{2}D_{3}
, а точка C
— на отрезке D_{1}D_{3}
, причём A
, B
и C
— середины этих отрезков. Поэтому AB
, BC
и AC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, треугольники D_{1}AC
, AD_{2}B
, CBD_{3}
и CBA
равны. Следовательно, равны и треугольники DAC
, ADC
, CBD
и BCA
.
(3)~\Rightarrow~(14)
— очевидно.
(15)~\Rightarrow~(3)
. Пусть в тетраэдре ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
равны по 180^{\circ}
и AB=CD
.
Рассмотрим развёртку D_{1}AD_{2}BD_{3}C
пирамиды ABCD
на плоскость треугольника ABC
(рис. 6), причём точки D_{1}
, D_{2}
и D_{3}
— вершины треугольников с основаниями AC
, AB
и BC
соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
и B
тетраэдра ABCD
равны по 180^{\circ}
, точка A
лежит на отрезке D_{1}D_{2}
, а точка B
— на отрезке D_{2}D_{3}
, причём A
и B
— середины этих отрезков. Поэтому AB
— средняя линия треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит,
CD_{1}+CD_{3}=AB+AB=2AB=D_{1}D_{3},
что возможно лишь в случае, когда точка C
лежит на отрезке D_{1}D_{3}
, причём C
— середина D_{1}D_{3}
(рис. 3). Тогда AC
и BC
— также средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, треугольники D_{1}AC
, AD_{2}B
, CBD_{3}
и BCA
равны. Следовательно, равны и треугольники DAC
, ADC
, CBD
и BCA
.
Пусть в тетраэдре ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
равны по 180^{\circ}
и AC=BD
.
Предположим, что точки C
и D_{2}
лежат по разные стороны от прямой D_{1}D_{3}
(рис. 7). Возьмём середину K
отрезка D_{1}D_{3}
. Тогда AK
— средняя линия треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
, поэтому AK=BD_{2}=AC
, т. е. треугольник AKC
— равнобедренный. Поскольку CD_{1}=CD_{3}
, треугольник D_{1}CD_{3}
— также равнобедренный, поэтому его медиана CK
является высотой. Тогда \angle AKC\gt\angle D_{1}KC=90^{\circ}
, что невозможно, так как AKC
— угол при основании равнобедренного треугольника AKC
.
Пусть теперь точки C
и D_{2}
расположены по одну сторону от прямой D_{1}D_{3}
(рис. 8). Продолжим KC
до пересечения с AB
в точке M
. Так как CK\perp D_{1}D_{3}
и AB\parallel D_{1}D_{3}
, то \angle ACK\gt90^{\circ}
как внешний угол прямоугольного треугольника AMC
. Что также невозможно.
Таким образом, точка C
лежит на отрезке D_{1}D_{3}
, причём C
— середина этого отрезка. Тогда AB
, BC
и AC
— средние линии треугольника D_{1}D_{2}D_{3}
. Значит, треугольники D_{1}AC
, AD_{2}B
, CBD_{2}
и BCA
равны. Следовательно, равны и треугольники DAC
, ADB
, CBD
и BCA
.
Аналогично для случая, когда в тетраэдре ABCD
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A
, B
равны по 180^{\circ}
и BC=AD
.
(3)~\Rightarrow~(15)
, (11)~\Rightarrow~(1)
и (1)~\Rightarrow~(11)
— очевидно.
(10)~\Rightarrow~(2)
. См. задачу 7994.
(2)~\Rightarrow~(10)
. См. задачу 7994.
(12)~\Rightarrow~(10)
. Известно, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке, причём эта точка совпадает с точкой пересечения медиан тетраэдра. Пусть O
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
и одновременно — центр его описанной сферы (рис. 10). Тогда OD=OC
и OA=OB
, поэтому высоты равнобедренных треугольников COD
и AOB
, проведённые из их общей вершины O
, проходят через середины K
и L
рёбер CD
и AB
, а так как точки K
, L
и M
лежат на одной прямой, то KL\perp AB
и KL\perp CD
.
Аналогично докажем, что остальные два отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, перпендикулярны этим рёбрам. Тогда, если достроить тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то отрезки, соединяющие центры противоположных граней параллелепипеда, будут перпендикулярны этим граням. Следовательно, параллелепипед — прямоугольный.
(10)~\Rightarrow~(12)
. Пусть параллелепипед AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), полученный в результате достроения тетраэдра ABCD
указанными в условии способом, — прямоугольный (рис. 9). Центр O
сферы, описанной около этого параллелепипеда, есть точка пересечения его диагоналей, т. е. середина каждой диагонали. Известно, что диагональ AM
проходит через точку G
пересечения медиан треугольника DBC
и делится этой точкой в отношении \frac{MG}{GA}=\frac{1}{2}
. Значит, AG
— медиана тетраэдра и
\frac{AO}{OG}=\frac{AO}{OM-MG}=\frac{AO}{AO-\frac{1}{3}AM}=\frac{AO}{AO-\frac{2}{3}AO}=3.
Следовательно, O
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
.
(13)~\Rightarrow~(11)
. Пусть O
центр вписанной сферы радиуса r
и в то же время O
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
(рис. 11). Если M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то \frac{DM}{DO}=4
. Если DT
— высота тетраэдра, а L
— проекция точки O
на плоскость основания ABC
, то треугольники DTM
и OLM
подобны, поэтому DT=OL\cdot\frac{DM}{DO}=4r
. Аналогично докажем, что остальные высоты тетраэдра также равны 4r
.