9010. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a
, угол между апофемой и боковой гранью равен \frac{\pi}{4}
. Найдите высоту пирамиды.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{12}
, \frac{a\sqrt{6}}{6}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AC
основания ABC
правильной треугольной пирамиды DABC
, DH
— высота пирамиды. Обозначим \angle DMH=\angle DNH=\beta
. Из точки M
опустим перпендикуляр MM_{1}
на плоскость грани ACD
. По условию задачи \angle MDM_{1}=45^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников DMH
и DMM_{1}
находим, что
DM=\frac{MH}{\cos\beta}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\cos\beta}=\frac{a\sqrt{3}}{6\cos\beta},
MM_{1}=DM\cos\angle MDM_{1}=DM\cos45^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{6\cos\beta}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6\sqrt{2}\cos\beta}.
Пусть BK
— перпендикуляр, опущенный из точки B
на апофему DN
пирамиды. Поскольку прямая BK
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DN
и AC
плоскости ADC
, прямая BK
перпендикулярна этой плоскости. Из прямоугольного треугольника BKN
находим, что
BK=BN\sin\beta=\frac{a\sqrt{3}}{2}\sin\beta.
Поскольку MM_{1}
и BK
перпендикулярны одной и той же плоскости, MM_{1}\parallel BK
, а так как M
— середина наклонной AB
к плоскости ADC
, то (см. задачу 9180)
BK=2MM_{1}=2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{6\sqrt{2}\cos\beta}=\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\cos\beta}.
Тогда получим уравнение \frac{a\sqrt{3}}{2}\sin\beta=\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\cos\beta}
. После возведения обеих его частей в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение
9\sin^{2}\beta\cos^{2}\beta=2~\Leftrightarrow~9(1-\cos^{2}\beta)\cos^{2}\beta=2~\Leftrightarrow~9\cos^{4}\beta-9\cos^{2}\beta+2=0,
откуда \cos^{2}\beta=\frac{1}{3}
или \cos^{2}\beta=\frac{2}{3}
. Тогда
\tg\beta=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}}-1}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}
или
\tg\beta=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}}-1}=\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
DH=MH\tg\beta=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}
или
DH=MH\tg\beta=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{12}.