9042. Точка
M
лежит на боковом ребре
SC
правильной шестиугольной пирамиды
SABCDEF
с вершиной
S
.
а) Постройте точку пересечения прямой
BM
с плоскостью грани
ESF
.
б) Найдите угол между прямыми
BM
и
DE
.
Ответ.
90^{\circ}
.
Решение. а) Плоскости
ESF
и
BSC
, имеющие общую точку
S
, проходят через параллельные прямые
BC
и
EF
, значит, они пересекаются по прямой
l
, параллельной
BC
и
EF
(см. задачу 8004). Пусть прямые
BM
и
l
пересекаются в точке
K
. Тогда
K
— точка пересечения прямой
BM
с плоскостью
ESF
.
б) Поскольку
DE\parallel AB
, угол между скрещивающимися прямыми
BM
и
DE
равен углу между пересекающимися прямыми
BM
и
AB
, т. е. углу
ABM
.
Прямая
DB
— ортогональная проекция прямой
MB
на плоскость основания пирамиды, а так как
DB\perp AB
, то
MB\perp AB
. Следовательно,
BM\perp DE
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2011, задача C2
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — , № 2.3, с. 18