9088. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
тетраэдра ABCD
. Докажите, что середины отрезков CM
, DM
, AN
и BN
— вершины параллелограмма.
Указание. Пусть X
, Y
, Z
и T
— середины отрезков CM
, DM
, AN
и BN
соответственно. Докажите, что \overrightarrow{YT}=\overrightarrow{ZX}
.
Решение. Первый способ. Пусть X
, Y
, Z
и T
— середины отрезков CM
, DM
, AN
и BN
соответственно. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{YT}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{MB})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{4}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}),
\overrightarrow{ZX}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\right)=\frac{1}{4}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{YT}.
Противоположные стороны ZY
и XT
четырёхугольника XTYZ
равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.
Второй способ. См. задачу 1547.