9090. Треугольники ABC
, A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
расположены так, что точки A
, B
и C
являются серединами отрезков A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников лежат на одной прямой.
Указание. См. задачу 4507.
Решение. Точки A
, B
и C
— середины отрезков A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
, поэтому
\overrightarrow{AA_{2}}=-\overrightarrow{AA_{1}},~\overrightarrow{BB_{2}}=-\overrightarrow{BB_{1}},~\overrightarrow{CC_{2}}=-\overrightarrow{CC_{1}}.
Пусть M
, M_{1}
и M_{2}
— точки пересечения медиан треугольников ABC
, A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно. Тогда (см. задачу 4507)
\overrightarrow{MM_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}),
\overrightarrow{MM_{2}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{2}}+\overrightarrow{BB_{2}}+\overrightarrow{CC_{2}})=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{CC_{1}})=
=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})=-\overrightarrow{MM_{1}}.
Из равенства \overrightarrow{MM_{2}}=-\overrightarrow{MM_{1}}
следует, что точки M
, M_{1}
и M_{2}
лежат на одной прямой.
Источник: Атанасян Л. С. и др. Геометрия 10—11: Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006. — № 398, с. 101