9093. Докажите, что сумма квадратов проекций всех рёбер куба на плоскость не зависит от взаимного расположения куба и плоскости и равна 8a^{2}
, где a
— ребро куба.
Указание. Если прямая образует с тремя попарно перпендикулярными прямыми углы \alpha
, \beta
, \gamma
, то
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
(см. задачу 7260).
Решение. Пусть прямая, перпендикулярная плоскости проекций, образует с тремя попарно перпендикулярными рёбрами куба углы \alpha
, \beta
, \gamma
. Тогда
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1
(см. задачу 7260), поэтому
\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=1-\cos^{2}\alpha+1-\cos^{2}\beta+1-\cos^{2}\gamma=3-1=2.
Значит, сумма квадратов проекций всех 12 рёбер куба на рассматриваемую плоскость равна
4a^{2}\cos^{2}\left(90^{\circ}-\alpha\right)+4a^{2}\cos^{2}\left(90^{\circ}-\beta\right)+4a^{2}\cos^{2}\left(90^{\circ}-\gamma\right)=
=4a^{2}(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma)=4a^{2}\cdot2=8a^{2}.