9096. Диагональ AC_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
образует с рёбрами AB
, AD
и AA_{1}
углы \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что \alpha+\beta+\gamma\lt180^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите трёхгранный угол OACD_{1}
с вершиной O
, где O
— точка пересечения диагоналей параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поскольку ABC_{1}D_{1}
— прямоугольник, \angle AOD_{1}=2\angle OAB=2\alpha
. Аналогично \angle COD_{1}=2\beta
и \angle AOC=2\gamma
.
Рассмотрим трёхгранный угол OACD_{1}
с вершиной O
. Сумма его плоских углов меньше 360^{\circ}
(см. задачу 7434), т. е.
\angle AOD_{1}+\angle COD_{1}+\angle AOC\lt360^{\circ},
или
2\alpha+2\beta+2\gamma\lt360^{\circ}.
Следовательно, \alpha+\beta+\gamma\lt180^{\circ}
.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 10.17, с. 191
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 195, с. 28
Источник: Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Геометрия. 10—11 классы. — М.: МЦНМО, 2011. — с. 294
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 9.15, с. 178
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 15.22, с. 242