9101. В треугольной пирамиде все плоские углы при вершине прямые. Докажите, что вершина пирамиды, точка пересечения медиан и центр описанной около пирамиды сферы лежат на одной прямой.
Решение. Пусть углы при вершине D
тетраэдра ABCD
прямые. Достроим прямоугольный треугольник ABD
до прямоугольника DBEA
, а пирамиду ABCD
— до прямоугольного параллелепипеда с основанием DBEA
и боковыми рёбрами DC
и EF
. Диагональ DF
этого параллелепипеда проходит через точку пересечения медиан треугольника ABC
(см. задачу 7212), значит, точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
лежит на прямой DF
. На этой же прямой лежит и центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда (середина DF
), а значит, и около тетраэдра ABCD
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1965, № 2, вариант 7
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — с. 280, № 2, вариант 7