9111. Основания двух пирамид равновелики, а высоты равны. Основания пирамид лежат в одной плоскости, а вершины расположены по одну сторону от неё. Докажите, сечения пирамид любой плоскостью, параллельной основаниям, равновелики.
Решение. Пусть S
площадь основания каждой пирамиды, H
— высота, h
— расстояние от плоскости оснований до плоскости \alpha
, параллельной основаниям, h\lt H
, S'
и S''
— площади сечений пирамид плоскостью \alpha
. Тогда многоугольники сечений подобны основаниям пирамид с коэффициентом \frac{H-h}{H}
(см. задачу 9105). Следовательно,
S''=\left(\frac{H-h}{H}\right)^{2}\cdot S=S'.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Из утверждения этой задачи и принципа Кавальери следует, что пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями равновелики.