9118. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с рёбрами AD=5
, AB=16
, AA_{1}=16
. Точки M
и N
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и C_{1}D_{1}
. Точки E
и F
выбраны на рёбрах CC_{1}
и DD_{1}
так, что C_{1}E=3
, D_{1}F=11
. Какую наименьшую длину может иметь ломаная APQ
, где точка P
лежит на прямой MN
, а точка Q
лежит на прямой EF
? В ответ запишите квадрат длины ломаной.
Ответ. \frac{3041}{5}
.
Решение. Пусть X
— ортогональная проекция точки F
на ребро CC_{1}
, K
— точка пересечения CN
и EF
, Y
— точка пересечения CN
и FX
. Тогда
EX=C_{1}X-C_{1}E=D_{1}F-C_{1}X=11-3=8.
Прямоугольные треугольники EFX
и NCC_{1}
равны по двум катетам. Обозначим \angle EFX=\angle NCC_{1}=\alpha
. Тогда
\angle FKY=180^{\circ}-\angle KFY-\angle FYK=180^{\circ}-\angle KFY-\angle CYX=
=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. EF\perp MN
. При этом
\tg\alpha=\frac{C_{1}N}{CC_{1}}=\frac{1}{2},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},
CN=\frac{CC_{1}}{\cos\alpha}=\frac{16}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=8\sqrt{5},~CK=CE\cos\alpha=13\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{26\sqrt{5}}{5},
KN=CN-CK=8\sqrt{5}-\frac{26\sqrt{5}}{5}=\frac{14\sqrt{5}}{5}.
Поскольку MN
— перпендикуляр к плоскости CC_{1}D_{1}D
, прямая KN
— ортогональная проекция наклонной PK
на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах PK\perp EF
. Значит, PK\leqslant PQ
для любого положения точки Q
на прямой EF
.
Заметим, что AP=BP
. Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью BMNC
. Пусть K'
— точка, симметричная точке K
относительно прямой MN
, а P_{0}
— точка пересечения BK'
и MN
. Тогда
BP_{0}+P_{0}K\leqslant BP+PK
для любого положения точки P
на прямой MN
(см. задачу 5004). Следовательно,
AP+PQ=BP+PQ\geqslant BP_{0}+P_{0}K,
причём равенство достигается, когда точка P
совпадает с P_{0}
, а Q
— с K
.
Тогда
(BP_{0}+P_{0}K)^{2}=(BP_{0}+P_{0}K')^{2}=
=BK'^{2}=BC^{2}+CK'^{2}=BC^{2}+(CN+NK)^{2}=
=25+\left(8\sqrt{5}+\frac{14\sqrt{5}}{5}\right)^{2}=25+\left(\frac{54\sqrt{5}}{5}\right)^{2}=\frac{3041}{5}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2015, январь, отборочный этап