9120. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
все рёбра равны 1.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD
с плоскостью, проходящей через точку B
перпендикулярно прямой AS
.
б) Найдите угол между плоскостью SAD
и плоскостью, проходящей через точку B
перпендикулярно прямой AS
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. а) Пусть M
— середина ребра AS
. Тогда BM
и DM
— медианы, а значит, и высоты равносторонних треугольников ASB
и ASD
. Значит, AS\perp BM
и AS\perp DM
, т. е. прямая AS
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BMD
. Следовательно, плоскость BMD
, проходящая через точку M
, перпендикулярна прямой AS
, а прямая пересечения этой плоскости с плоскостью SAD
— это прямая DM
.
б) Плоскость SAD
проходит через прямую AS
, перпендикулярную плоскости BMD
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.11, с. 28