9127. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
основание ABCD
— квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA
отмечена точка M
так, что AM=6
.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки S
на плоскость BCM
равноудалена от точек B
и C
.
б) Найдите расстояние от вершины S
до плоскости BCM
.
Ответ. \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{11}}
.
Решение. а) Плоскости BCM
и ASD
проходят через параллельные прямые BC
и AD
, значит эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной BC
и AD
(см. задачу 8004). Пусть эта прямая пересекает ребро SD
в точке N
. Тогда сечение данной правильной пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция BMNC
. Прямая, проходящая через середины K
и L
оснований соответственно MN
и BC
этой трапеции, есть общий серединный перпендикуляр к MN
и BC
.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины S
на прямую KL
. Ребро BC
перпендикулярно плоскости SKL
, поэтому SH\perp BC
, значит, прямая SH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и KL
плоскости BCM
. Следовательно, SH
— перпендикуляр к этой плоскости, точка H
— ортогональная проекция вершины S
на эту плоскость, а так как прямая KL
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
, то лежащая на этой прямой точка H
равноудалена от B
и C
.
б) Пусть O
— центр основания пирамиды, P
— середина ребра AD
. Из прямоугольного треугольника SOA
находим, что
SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{9^{2}-(3\sqrt{2})^{2}}=3\sqrt{7}.
Тогда
S_{\triangle LSP}=\frac{1}{2}LP\cdot SO=\frac{1}{2}\cdot6\cdot3\sqrt{7}=9\sqrt{7}.
Прямая MN
параллельна AD
, поэтому \frac{SK}{SP}=\frac{SM}{SA}=\frac{1}{3}
. Значит,
S_{\triangle KSL}=\frac{1}{3}S_{\triangle LSP}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{7}=3\sqrt{7}.
Пусть Q
— проекция точки K
на плоскость основания пирамиды. Тогда точка Q
лежит на отрезке LP
, причём \frac{OQ}{OP}=\frac{SK}{SP}=\frac{1}{3}
, поэтому
LQ=LO+OQ=LO+\frac{1}{3}OP=3+\frac{1}{3}\cdot3=4.
Кроме того,
KQ=\frac{2}{3}SO=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{7}=2\sqrt{7},
значит,
KL=\sqrt{LQ^{2}+KQ^{2}}=\sqrt{16+28}=2\sqrt{11}.
Тогда S_{\triangle KSL}=\frac{1}{2}KL\cdot SH=\sqrt{11}SH
. Из равенства \sqrt{11}SH=3\sqrt{7}
находим, что SH=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{11}}
.