9129. Существует ли тетраэдр, у которого основания всех высот лежат вне оснований тетраэдра?
Ответ. Существует.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
, в котором грани ABC
и DBC
— равносторонние треугольники, а угол между высотами AM
и DM
этих треугольников равен 120^{\circ}
.
Пусть AM=DM=1
. Тогда
AD=\sqrt{3},~AB=BC=\frac{2}{\sqrt{3}},~\cos\angle ABD=\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-3}{2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}}=-\frac{1}{8}\lt0,
значит, угол ABD
тупой. Поскольку CA=CB=CD
, высота тетраэдра, проведённая из вершины C
, проходит через центр описанной окружности грани ABD
(см. задачу 7163), а так как треугольник ABD
тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит вне его. Аналогично для высоты тетраэдра, проведённой из вершины B
.
Ребро BC
перпендикулярно плоскости AMD
, значит, высота тетраэдра, проведённая из вершины D
совпадает с высотой треугольника AMD
, а так как угол AMD
тупой, то основание этой высоты лежит на продолжении отрезка AM
за точку M
, а следовательно, вне треугольника ABC
. Аналогично для высоты тетраэдра, проведённой из вершины A
.