9137. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
со стороной 8. Боковое ребро SD
перпендикулярно плоскости основания. Точка M
— середина высоты пирамиды. Плоскость ACM
составляет угол 45^{\circ}
с плоскостью основания.
а) Докажите, что прямая SB
параллельна плоскости ACM
.
б) Найдите расстояние от точки B
до плоскости ACM
.
Ответ. 4.
Указание. Точки B
и D
равноудалены от плоскости ACM
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда OM
— средняя линия треугольника BDS
, значит, BS\parallel OM
. Прямая SB
параллельна прямой OM
, лежащей в плоскости ACM
, следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости (см. задачу 8002) эта прямая параллельна плоскости ACM
.
б) Отрезок BD
пересекает плоскость ACM
в своей середине O
, значит, концы B
и D
этого отрезка равноудалены от плоскости ACM
, т. е. искомое расстояние равно расстоянию от точки D
до плоскости ACM
.
Поскольку MD
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, отрезок DO
— ортогональная проекция наклонной MO
к плоскости ABCD
. По теореме о трёх перпендикулярах MO\perp AC
, значит, MOD
— линейный угол двугранного угла между плоскостями ACM
и ABCD
. По условию задачи \angle MOD=45^{\circ}
, значит, треугольник MOD
прямоугольный и равнобедренный. Его высота DH
— перпендикуляр к плоскости ACM
, следовательно, искомое расстояние d
равно этой высоте, т. е.
d=DH=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}\cdot OD\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4.