9139. Точки M
и N
— середины рёбер SA
и SB
правильной треугольной пирамиды SABC
с вершиной S
. Через M
и N
проведена плоскость, перпендикулярная плоскости основания.
а) Докажите, что эта плоскость делит медиану CE
основания в отношении 1:5
, считая от точки E
.
б) Найдите площадь сечения, если AB=36
, SA=31
.
Ответ. 276.
Решение. а) Пусть H
— ортогональная проекция точки N
на плоскость основания пирамиды. Тогда точка H
лежит на отрезке OB
и делит его пополам. Плоскость \alpha
, проходящая через прямые MN
и NH
перпендикулярна плоскости основания, так как она проходит через прямую NH
, перпендикулярную плоскости основания (см. задачу 7710).
По теореме о средней линии треугольника прямая MN
параллельна прямой AB
, лежащей в плоскости основания, значит, прямая MN
параллельна плоскости основания, а проходящая через неё плоскость \alpha
пересекает плоскость основания по прямой, проходящей через точку H
параллельно AB
.
Пусть плоскость \alpha
пересекает стороны AC
и BC
основания и медиану CE
в точках P
, Q
и R
соответственно. Тогда OR:RE=OH:HB=1:1
, RE=\frac{1}{2}OE
, а так как OE=\frac{1}{3}CE
, то RE=\frac{1}{6}CE
. Следовательно, ER:RC=1:5
.
б) Пусть SO
— высота пирамиды. Тогда O
— центр равностороннего треугольника ABC
, а OB=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}
. Сечение пирамиды SABC
плоскостью \alpha
— равнобедренная трапеция PMNQ
с основаниями MN=\frac{1}{2}AB=18
, PQ=\frac{5}{6}AB=30
и высотой
NH=\frac{1}{2}SO=\frac{1}{2}\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{31^{2}-(12\sqrt{3})^{2}}=\frac{23}{2}.
Следовательно,
S_{PMNQ}=\frac{1}{2}(AB+MN)\cdot NH=\frac{1}{2}(30+18)\cdot\frac{23}{2}=276.