9149. Основание пирамиды PQRS
— прямоугольный треугольник PQR
с прямым углом при вершине Q
. Высота пирамиды проходит через точку P
. Найдите угол между прямой PS
и прямой, проходящей через середины рёбер PQ
и RS
, если известно, что QR=\sqrt{3}PS
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. По теореме о трёх перпендикулярах SQ\perp QR
(см. задачу 7707). Медиана QA
прямоугольного треугольника SQR
равна половине гипотенузы SR
, медиана PA
прямоугольного треугольника SPR
также равна половине гипотенузы SR
. Значит, треугольник PAQ
— равнобедренный. Его высота AC
является медианой, поэтому C
— середина PQ
.
Пусть AB
— перпендикуляр, опущенный из точки A
на ребро PR
. Тогда AB
— средняя линия прямоугольного треугольника SPR
, значит, AB=\frac{1}{2}SP
и AB\parallel SP
, а так как SP
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, то AB
— также перпендикуляр к этой плоскости.
Точки B
и C
— середины сторон PR
и PQ
треугольника PQR
, значит, BC
— средняя линия треугольника PQR
. Поэтому BC=\frac{1}{2}QR
. Поскольку AB\parallel SP
, угол между скрещивающимися прямыми SP
и AC
равен углу между пересекающимися прямыми AB
и AC
, т. е. углу BAC
.
По условию задачи QR=\sqrt{3}SP
, поэтому BC=\sqrt{3}AB
, значит,
\tg\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle BAC=60^{\circ}
.